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大厂动态规划面试汇总,重量级干货,彻夜整理

发表时间:2021-04-13 19:36:00  来源:野望文存  浏览:次   【】【】【

注:本文是BAT真题收录很值得大家花心思看完,看完会有收获。

前言

算法是面试大公司必考的项目,所以面试前准备好算法至关重要,今天整理的常见的动态规划题目,希望可以帮到大家。


要想学习其他绝世武功,要先打好基础。算法属于内功,则更为重要。

强盗抢劫

题目:强盗抢劫一排房间,每个房间都有钱,不能抢劫两个相邻的房间,要求抢的钱最多。数组如:[2,7,9,3,1]

思路:当输入房间数为0,1,2时,这个很好判断,当输入房间数字大于3时,就要用到动态规划了,方程是:

dp[i]是当抢到第i个数时,能抢到最大值,从局部最大值推到最终结果最大

假如抢到第5个房间,那么第5个房间有二种情况,抢不和不被抢,因为只能隔房间。

如果抢到第4个房间,有个最大值;抢到第3个房间,有个最大值。

如果加上第3房间最大值,加上第5房间的最大值,大于抢到第4个房间时的最大时。那就抢3,5而不抢4,反而,就按抢4的策略。

这样从前往后推,最后的结果一定是最大的。

代码如下:



跳台阶

题目描述:有 N 阶楼梯,每次可上一阶或两阶,求有多少种上楼梯的方法

先来分析下这个问题:

当N=1时,这个很好理解,只能跨1步这一种了

当N=2时,你每次可以跨1步或2步,那就是走2步或走两个1步

当N=3时,因为你可以跨1步或2步,那你在台阶1或2都能行。要计算到台阶1有多少种走法,到台阶2有多少种走法,然后2种相加,依次逆推。

当N=4时,你在台阶2或3都能行,计算到台阶2有多少种走法,到台阶3有多少种走法,然后2者相加,依次逆推。

总结如下:你会发现,这是斐波拉切数列,使用递归出现重复计算问题,所以选择动态规划算法。

层数
公式种数
1f(1)=11
2
f(2)=22
3f(3)=f(1)+f(2)3
4f(4)=f(2)+f(3)5


第三层:3种(
在第一层走2步或在第二层走1步

第四层:5种(在第二层走2步或在第三层走1步

i,j首先赋边界值,res保存i+j的值,每次前进,i,j,res的值都会被赋到前面结果。

上面的算法是底向上,递归相当于自顶向下,避免了重复计算


矩形最小路径和

题目:
给定一个,包含非负整数的 m x n 网格。请找出一条,从左上角到右下角的路径。使得路径上,所有数字总和为最小,每次只能向下,或者向右移动一步。

输入:[[1,3,1],
      [1,5,1],
      [4,2,1]]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

先看动态方程:

i值
j值
dp方程
i>0
j=0
dp[i][0] = dp[i?1][0] + grid[i][0]
i=0
j>0
dp[0][j] = dp[0][j?1] + grid[0][j]
i>0
j>0
dp[i][j] = min(dp[i?1][j], dp[i][j?1]) + grid[i][j]


说明:因为 i=0 和 j=0 是临界条件,所以要先求出来。当 i>0 和 j>0 时,看如上数组,5 可以由上方3,或者左方 1 走过来

当走5的时候,要选取上方3对应的dp,与左方1 对应的dp进行比较,选择较小值累加,这样走出来的才是最小值。最后推出,到右下角的最小值。

代码如下:


sum用来存储,从[0][0]到sum[i][j]路径的最小和,看看每次sum的变化,sum[1][1]=7意思是,从[0][0]到[1][1]路径最小和是7

程序先把,第2行对应的sum都求出来,再把第2列对应的sum都求出来,最后求sum[2][2]就很容易了。

最后,sum[i-1][j-1]就是推出的最小值,上述代码就是dp方程的实现。

划分数组为两个相等的子集

题目:输入:[1, 5, 11, 5], 输出:[1, 5, 5]和[11]

思路是,相对数组中每个数求dp,最后就会找到dp[target]是否为true。

如果 dp[j - nums[i]] 为true的,说明可以组成 j-nums[i]这个数,再加上nums[i],就可以组成数字j。

当j = target是同样道理,要想找到dp[target]为true,就找到数组中,几个值的和为target时,对应下标的dp值为true,这样反推dp[target]为true。

代码如下:



乘积最大连续子数组

题目:
输入一个整形数组,数组里有正数也有负数。数组中连续的一个,或多个整数组成一个子数组,每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。

例如数组:arr[]={1, 2, 3, -2, 4, -3 } 最大子数组为 {1, 2, 3, -2, 4} 和为8。

思路:fmax(i) 表示,以第 i 个元素结尾的,乘积最大子数组的乘积,fmin(i) 表示,以第 i 个元素结尾的,乘积最小子数组的乘积。

这里分为最大和最小是因为数组可能存在负数,最大值乘以负数变成较小值,最小值乘以一个负数也可能变成最大值。

比较方程是:当前数乘以上一个最大值,当前值,当前数乘以上一个最小值。这三者比较,其中的最大值,就是我们要的最大值。

同样,每次也要把最小值计算出来,方式同上。

代码如下:


等差递减区间的个数

题目:求一个数组中等差递减区间个数,等差数列必须是连续的。

例子:A = [1, 2, 3, 4],个数为3,分别是: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 

等差数列公式:


先看一个表:

数组
等差数列的数目
与上一组等差数列比较
1 2 3 
11 - 0 = 1
1 2 3 433 - 1 = 2
1 2 3 4 5 
6
6 - 3 = 3
1 2 3 4 5 6
1010 - 6  = 4

其实仔细观察,发现这是一个斐波拉切数列,0,1….n-2数的求和,动态规划找到方程了,就发现非常简单了。

这就是规律,但需要自己去发现规律,有些题目咋看一脸懵逼,仔细看就会发现其中的规律。

dp[i] 表示到i位置时,子数组的个数。数组长度大于3。


下面看下代码:

下面再看代码执行值的变化过程:

i值
子数组
dp[i]
res
i = 2
12311
i = 3
123 234 123423
i = 4
123 234 1234 2345 123453
6
i = 5 
123 234 1234 2345 12345 23456 1234564
10


很明显,就是
0,1….n-2数的求和

最长回文子串

题目:求最长回文子串。输入: "babad",输出: "bab"。注意: "aba" 也是一个有效答案。

dp[i][j]表示,字符s从下标i到下标j,是否为回文串。

如果bab是回文串,那么ababa也是回文串。因为,在两边增加了相同的数。同理,可以给出动态方程:


下面看下代码:

这段代码用利用了 dp[i + 1][j - 1],其前面已经计算出来了。

当k = 4时,字符串最长,最后符合条件的回文子串最长。注意整个循环遍历的过程,用k最为两个下标的间距,然后遍历每种可能的结果,判断是否回文。

最长的子串最后判断,将符合条件的子串保存起来。动态规划方程推测极为重要。

最长递增子序列

求一个数组的最长自增子序列。

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18],输出: 4。

解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。

代码如下:

dp[i]表示以a[i]这个元素结尾的最长递增子序列的长度。

想求 dp[5] 的值,也就是想求以 nums[5] 为结尾,其最长递增子序列。

nums[5] = 3,既然是递增子序列。我们只要找到,前面那些结尾比 3 小的子序列,然后把 3 接到最后,就可以形成新的递增子序列,而且这个新的子序列长度加一。

当然,可能形成很多种新的子序列,但是我们只要最长的,把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可

根据此依次类推到前面,d[0],d[1]…d[i]都是这样求出来的,看来动态规划有些是逆推的。

最大子序和

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],输出: 6,解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6

解决思路:动态规划

动态规划方程:


动态规划:定义dp[i]表示为nums[i]为结尾的[连续子数组的最大和。

当遍历到nums[i]时,我们需要比较nums[i]和dp[i-1]+nums[i]谁更大,然后取较大值。

代码如下:


结尾

大厂面试算法是必考题,动态规划是常考的算法,面试务必要掌握。希望大家能找满意的工作。


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责任编辑:蔡学森